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    简介:

    [第1课] 课程简介

    课程简介

    [第2课] 微积分总览

    微积分总览

    [第3课] 导数总览

    导数总览

    播放中

    [第4课]极值和二阶导数

    极值和二阶导数

    [第5课] 指数函数

    指数函数

    [第6课] 积分总览

    积分总览

    [第7课] sinx和cosx的导数

    这一讲主要探讨的对象是“振动函数”sinx和cosx,它们的导数性质非常奇妙(sinx)'=cosx,(cosx)'=-sinx。斯特朗教授通过将三角函数和圆周联系起来,巧解(sinx)/x在x→0时趋近于1这一极限,系统地推导了这两个三角函数的导数性质。注意看斯特朗教授是如何处理(sinx)/x和(1-cosx)/x这两个最重要的0/0极限的。

    [第8课] 乘法法则和除法法则

    乘法法则和除法法则是导数应用中最基础的法则,斯特朗教授通过对这两个法则通俗易懂的推导,系统性地解决了幂函数f(x)=xⁿ的导数问题。注意看乘法法则和矩形面积的奇妙类比

    [第9课] 复合函数和链式法则

    复合函数f(g(x))可以看作由内函数g和外函数f嵌套组成的函数链,其可以导数通过链式法则求出。将内函数g(x)记作y,外函数f(y)记作z。复合函数的导数由链式法则dz/dx=(dz/dy)(dy/dx)给出,可以理解为分子分母同时乘以了一个dy。很多函数都能通过这种形式求导,比如sin(3x)、正态分布相关函数e^(-x²/2)均可以通过链式法则转化为两个简单函数,轻松求导。链式法则是微积分中最重要的法则之一。

    [第10课] 极限和连续函数

    这一讲用“窄带”(narrow band)的说法通俗地讲解了极限和连续的概念。所谓极限存在,就是不管取多窄的窄带,数列足够靠后的数字,都会落在窄带(A+ε,A-ε)之内。所谓函数连续,就是只要x足够接近a,就能保证f(x)足够接近f(a)。详细解释请参阅视频

    [第11课] 逆函数和对数函数

    这一讲通俗地解释是什么是逆函数,并解释了逆函数的图像不过是原函数沿y=x(45°直线)翻转得到的图像。在摄氏度华氏度转换等几个实例之后,又系统地通过逆函数的概念,从指数函数延伸出了对数函数的概念,并着重强调了对数的性质,为之后引入求导做准备。

    [第12课] 对数函数和反三角函数的导数

    这一讲的主题通过逆函数(又译作反函数)的求导法则,将求导法则总结性的列了出来(包括四则运算求导法则、链式法则、逆函数求导法则)。这一讲讲到了两个重要的实例lny和arcsiny的求导,指明逆函数求导法则可以通过链式法则推导。另外,关于(lny)'=1/y,斯特朗教授有经典点评。

    [第13课] 负增长率和对数图

    这一讲首先直观地用数量级的观念讲解了线性增长、多项式增长、指数增长等之间的快慢关系。如果x=10的3次方,指数函数10的x次方达到10的1000次方,也就是10后面1000个0。这一讲的另外一个重要内容是对数图,清晰地讲解了对数尺度(以logx为刻度)的好处,它能将各种增长转化为线性形式,并举出了一些典型的例子。

    [第14课] 线性近似和牛顿法

    这一讲介绍了微积分的两种应用,深入浅出地讲明白了两种应用的实质,并将两种方法进行了对比讲解,说明了其内涵其实是一样的。线性近似,f(x)=(x-a)f'(a),是求函数近似值最简单使用的方法,在各项工程领域均有广泛的应用。而牛顿法,是近似解方程的标准方法,目前仍广泛应用于计算器和计算机程序中。

    [第15课] 幂级数和欧拉公式

    这一讲从幂级数入手,讲到了如何求函数幂级数的简单方法,即让函数的各阶导数和幂级数的各阶导数相匹配。然后由e^x, sinx和cosx的幂级数,连贯地引出欧拉公式e^(iθ)=cosθ+isinθ,并就此通俗地引入了复数的概念。课程的最后选讲了两个幂级数:几何级数和对数级数,并诠释了两者间的联系。

    [第16课] 关于运动的微分方程

    这一讲的主题是常系数线性微分方程my''+2ry'+ky=0。教授指出了这种方程在物理、工程、自科、社科等领域的广泛应用,强调它是最重要的微分方程。他以弹簧的振动为例,通俗地解释了各常数的物理意义(m质量、r阻尼、k胡克系数)。课程后半部分举重若轻地讲解了这种方程的解法——代入e^(λt)来求解,详细内容见课程。

    [第17课] 关于增长的微分方程

    关于增长的微分方程

    [第18课] 六大函数、六大法则及六大定理

    六大函数、六大法则及六大定理

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